Eleman, Set-Builder Notasyonu, Kesişen Setler, Venn Diyagramları
Genel Bakış
Matematiksel olarak, bir set bir koleksiyon veya nesnelerin listesidir.
Setler sadece sayılardan oluşmaz, ancak aşağıdakileri içeren herhangi bir şey içerebilir:
- buzdolabınızdaki yiyecekler;
- Güneş sistemindeki gezegenler;
Setler herhangi bir şey içerebilmelerine rağmen, genellikle bir desene uyan ya da bir şekilde ilişkili olan sayılara başvururlar:
- Pozitif sayıların 10'dan küçük sayıları: (0, 2, 4, 6, 8);
- 12 sayı için faktör seti: (1, 2, 3, 4, 6, 12).
Notasyonu Ayarla
Bir kümedeki nesneler öğeler olarak adlandırılır ve aşağıdaki notasyon veya kurallar setlerle birlikte kullanılır:
- J, E veya F gibi kümeleri tanımlamak için tek büyük harfler kullanılır;
- Bir kümenin öğeleri için küçük harfler veya sayılar kullanılır;
- Kıvırcık diş telleri {} bir kümedeki elemanların bir listesini gösterir;
- Virgüller set elemanlarını ayırmak için kullanılır.
Yani, set notasının örnekleri şöyle olurdu:
J = {jüpiter, satürn, uranüs, neptün}
E = {0, 2, 4, 6, 8};
F = {1, 2, 3, 4, 6, 12};
Eleman Sırası ve Tekrarı
Bir kümedeki öğeler belirli bir sırada olmak zorunda değildir, bu nedenle yukarıdaki J de aşağıdaki gibi yazılabilir:
J = {saturn, jüpiter, neptün, uranüs}
veya
J = {neptün, Jüpiter, Uranüs, Satürn
Yinelenen elemanlar kümeyi değiştirmez, yani:
J = {jüpiter, satürn, uranüs, neptün}
ve
J = {jüpiter, satürn, uranüs, neptün, jüpiter, satürn)
her ikisi de sadece dört farklı öğe içerdiği için aynıdır: jüpiter, satürn, uranüs ve neptün.
Setleri ve Elips
Bir sette sonsuz veya sınırsız sayıda eleman varsa, bir elips (...), setin deseninin bu yönde sonsuza kadar devam ettiğini göstermek için kullanılır.
Örneğin, doğal sayılar kümesi sıfırdan başlar, ancak sonu yoktur, bu yüzden şu şekilde yazılabilir:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, … }
Sonu olmayan bir başka özel sayı kümesi, tamsayılar kümesidir. Ancak, tamsayılar pozitif veya negatif olabileceğinden, set, her iki uçta da kümenin her iki yönde de sonsuza kadar devam ettiğini göstermek için elipsler kullanır:
{ … , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … }
Elipsler için başka bir kullanım, aşağıdaki gibi büyük bir setin ortasını doldurmaktır:
{0, 2, 4, 6, 8, …, 94, 96, 98, 100}
Elips, kalıbın - sadece sayılar - kümenin yazılmayan bölümü boyunca devam ettiğini gösterir.
Özel setleri
Sık kullanılan özel setler, belirli harf veya sembol kullanılarak tanımlanır. Bunlar şunları içerir:
- Ø veya {} - boş set - eleman içermeyen bir set ;
- U - evrensel set - belirli bir set tanımına göre tüm elemanları içeren bir set ;
- Z - tüm tam sayıların kümesi: Z = { … , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … };
- N - doğal sayılar (pozitif tamsayılar): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, … }.
Roster ve Tanımlayıcı Yöntemler
Güneş sistemimizdeki iç veya karasal gezegenler kümesi gibi bir kümenin elemanlarını yazmak veya listelemek, liste notasyonu veya liste yöntemi olarak adlandırılır .
T = {civa, venüs, dünya, mars}
Bir kümenin öğelerini tanımlamak için başka bir seçenek, aşağıdaki gibi bir kümesi tanımlamak için kısa bir deyim veya ad kullanan açıklayıcı yöntemi kullanmaktır:
T = {yeryüzü gezegenleri}
Set-Builder Gösterimi
Liste ve tanımlayıcı yöntemlere bir alternatif, setin elemanlarının (belirli bir grubun üyelerini oluşturan kural) izlediği kuralı açıklayan kestirme bir yöntem olan set-oluşturucu notasyonunu kullanmaktır .
Sıfırdan büyük doğal sayılar kümesi için set-oluşturucu notasyonu:
{x | x ∈ N, x > 0 }
veya
{x: x ∈ N, x > 0 }
Set-oluşturucu notasyonunda, "x" harfi, herhangi bir başka harfle değiştirilebilen bir değişken veya yer tutucudur.
Kısa Karakterler
Set-oluşturucu notasyonu ile kullanılan kestirme karakterler şunlardır:
- Dikey çubuk veya kolon ( | veya : karakterler) - öyle ki;
- Küçük harf epsilon ( ∈ karakter) - ;
- ∉ karakteri - bir öğe olarak okunmaz .
Yani, {x | x ∈ N, x > 0 } şöyle okunur:
"Tüm x kümesi, öyle ki x , doğal sayılar kümesinin bir öğesidir ve x, 0'dan büyüktür."
Setleri ve Venn Şemaları
Farklı setlerin elemanları arasındaki ilişkileri göstermek için bir küme diyagramı olarak da adlandırılan bir Venn diyagramı kullanılır.
Yukarıdaki resimde, Venn diyagramının üst üste binen bölümü, E ve F kümelerinin (her iki kümede ortak olan elemanların) kesişimini göstermektedir.
Aşağıda işlem için set-oluşturucu notasyonu listelenir (baş aşağı "U", kesişim anlamına gelir):
E ∩ F = {x | x ∈ E , x ∈ F}
Dikdörtgen kenarlık ve Venn diyagramının köşesindeki U harfi, bu işlem için dikkate alınan tüm unsurların evrensel kümesini temsil eder:
U = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}